Нобелевская премия по физике — 2016.

Рис. 1. Лауреаты Нобелевской премии по физике 2016 года.

Слева направо: Майкл Костерлиц (John Michael Kosterlitz), Дэйвид Таулесс (David James Thouless)

и Данкан Холдейн (Frederick Duncan Michael Haldane).

Нобелевская премия по физике за 2016 год присуждена Майклу Костерлицу, Дэйвиду Таулессу и Данкану Холдейну с формулировкой «за теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз материи». За этой несколько размытой и малопонятной широкой публике фразой стоит целый мир нетривиальных и удивительных даже для самих физиков эффектов, в теоретическом открытии которых лауреаты сыграли ключевую роль в 1970–1980-е годы. Они, конечно, были не единственными, кто осознал тогда важность топологии в физике. Так, советский физик Вадим Березинский за год до Костерлица и Таулесса сделал, по сути, первый важный шаг к топологическим фазовым переходам. Рядом с именем Холдейна тоже можно поставить много других имен. Но как бы то ни было, все три лауреата безусловно являются знаковыми фигурами в этом разделе физики.

Лирическое введение в физику конденсированных сред

Объяснить доступными словами суть и важность работ, за которые был присужден физический Нобель-2016, — задача не из простых. Мало того, что сами явления сложные и вдобавок квантовые, так они еще и разнообразные. Премия была присуждена не за одно конкретное открытие, а за целый список пионерских работ, которые в 1970–1980-е годы стимулировали развитие нового направления в физике конденсированных сред. В этой новости я попробую достичь более скромной цели: объяснить на паре примеров суть того, что такое топологический фазовый переход, и передать ощущение, что это действительно красивый и важный физический эффект. Рассказ будет лишь про одну половину премии, ту, в которой проявили себя Костерлиц и Таулесс. Работы Холдейна столь же завораживающие, но они еще менее наглядные, и для их объяснения потребовался бы совсем уж длинный рассказ.

Начнем с блиц-введения в самый богатый на явления раздел физики — физику конденсированных сред.

Конденсированная среда — это, на житейском языке, когда много однотипных частиц собрались вместе и сильно воздействуют друг на друга. Почти каждое слово здесь — ключевое. Сами частицы и закон взаимодействия между ними — должны быть однотипными. Можно взять несколько разных атомов, пожалуйста, но главное, что дальше этот фиксированный набор повторяется снова и снова. Частиц должно быть очень много; десяток-другой — это еще не конденсированная среда. И, наконец, влиять они друг на друга должны сильно: толкать, тянуть, мешать друг другу, может быть обмениваться друг с другом чем-то. Разреженный газ конденсированной средой не считается.

Главное откровение физики конденсированных сред: при таких очень простых «правилах игры» в ней обнаружилось нескончаемое богатство явлений и эффектов. Такое многообразие явлений возникает вовсе не из-за пестрого состава — частицы-то однотипные, — а самопроизвольно, динамически, как результат коллективных эффектов. В самом деле, раз взаимодействие сильное, нет смысла смотреть на движение каждого отдельного атома или электрона, ведь оно тут же сказывается на поведении всех ближайших соседей, а может быть, даже и далеких частиц. Когда вы читаете книгу, она «говорит» с вами не россыпью отдельных букв, а набором связанных друг с другом слов, она передает вам мысль в форме «коллективного эффекта» букв. Так же и конденсированная среда «говорит» на языке синхронных коллективных движений, а вовсе не отдельных частиц. И вот этих коллективных движений, оказывается, огромное разнообразие.

Нынешняя Нобелевская премия отмечает работы теоретиков по расшифровке еще одного «языка», на котором могут «разговаривать» конденсированные среды, — языка топологически нетривиальных возбуждений (что это такое — чуть ниже). Конкретных физических систем, в которых возникают такие возбуждения, найдено уже немало, и ко многим из них приложили руку лауреаты. Но самое существенное здесь — не конкретные примеры, а сам факт того, что такое в природе тоже бывает.

Многие топологические явления в конденсированных средах были вначале выдуманы теоретиками и казались просто математической шалостью, не относящейся к нашему миру. Но потом экспериментаторы обнаруживали реальные среды, в которых эти явления наблюдаются, — и математическая шалость вдруг порождала новый класс материалов с экзотическими свойствами. Экспериментальная сторона этого раздела физики сейчас на подъеме, и это бурное развитие будет продолжаться и в будущем, обещая нам новые материалы с запрограммированными свойствами и устройства на их основе.

Топологические возбуждения

Сначала поясним слово «топологический». Не пугайтесь, что объяснение будет звучать как голая математика; связь с физикой проявится по ходу дела.

Есть такой раздел математики — геометрия, наука о фигурах. Если форму фигуры плавно деформировать, то, с точки зрения обычной геометрии, сама фигура меняется. Но у фигур бывают общие характеристики, которые при плавной деформации, без разрывов и склеек, остаются неизменными. Это и есть топологическая характеристика фигуры. Самый известный пример топологической характеристики — это количество дырок у трехмерного тела. Чайная кружка и бублик — топологически эквивалентны, они оба имеют ровно одну дырку, и потому плавной деформацией одну фигуру можно превратить в другую. Кружка и стакан — топологически различаются, потому что у стакана дырок нет. Для закрепления материала предлагаю ознакомиться с прекрасной топологической классификацией женских купальников.

Итак, вывод: всё то, что можно свести друг к другу плавной деформацией, считается топологически эквивалентным. Две фигуры, которые никакими плавными изменениями друг в друга не превратишь, считаются топологически разными.

Второе слово для объяснение — «возбуждение». В физике конденсированных сред возбуждение — это любое коллективное отклонение от «мертвого» неподвижного состояния, то есть от состояния с наименьшей энергией. Например, по кристаллу ударили, по нему побежала звуковая волна — это колебательное возбуждение кристаллической решетки. Возбуждения не обязательно вызывать насильно, они могут спонтанно возникать из-за ненулевой температуры. Обычное тепловое дрожание кристаллической решетки — это, по сути, много наложившихся друг на друга колебательных возбуждений (фононов) с разными длинами волн. Когда концентрация фононов велика, происходит фазовый переход, кристалл плавится. В общем, как только мы поймем, в терминах каких возбуждений следует описывать данную конденсированную среду, мы получим ключ к ее термодинамическим и прочим свойствам.

Теперь соединим два слова. Звуковая волна — это пример топологически тривиального возбуждения. Это звучит умно, но по своей физической сути это просто означает, что звук можно сделать сколь угодно тихим, вплоть до полного исчезновения. Громкий звук — колебания атомов сильные, тихий звук — слабые. Амплитуду колебаний можно плавно уменьшать до нуля (точнее, до квантового предела, но это тут несущественно), и это всё еще будет звуковое возбуждение, фонон. Обратите внимание на ключевой математический факт: существует операция плавного изменения колебаний до нуля — это просто уменьшение амплитуды. Именно это и означает, что фонон — топологически тривиальное возмущение.

А сейчас включается богатство конденсированных сред. В некоторых системах бывают возбуждения, которые нельзя плавно уменьшить до нуля. Не физически нельзя, а принципиально — форма не позволяет. Просто не существует такой повсюду плавной операции, которая переводит систему с возбуждением в систему с наименьшей энергией. Возбуждение по своей форме топологически отличается от тех же фононов.

Смотрите, как это получается. Рассмотрим простую систему (она называется XY-модель) — обычную квадратную решетку, в узлах которой есть частицы со своим спином, который может быть ориентирован как угодно в этой плоскости. Мы будем изображать спины стрелочками; ориентация стрелочки произвольная, но длина фиксирована. Мы будем также считать, что спины соседних частиц взаимодействуют друг с другом таким образом, что наиболее энергетически выгодная конфигурация — это когда все спины во всех узлах смотрят в одну сторону, как в ферромагнетике. Эта конфигурация показа на рис. 2, слева. По ней могут бежать спиновые волны — небольшие волнообразные отклонения спинов от строгой упорядоченности (рис. 2, справа). Но это всё обычные, топологически тривиальные возбуждения.

Рис. 2. Основное состояние квадратной решетки со взаимодействующими спинами (слева) и спиновая волна в ней (справа).

Изображение с сайта ribbonfarm.com

А вот теперь взгляните на рис. 3. Здесь показаны два возмущения необычной формы: вихрь и антивихрь. Выберите мысленно точку на картинке и пройдите взглядом по круговому пути против часовой стрелки вокруг центра, обращая внимание на то, что происходит со стрелочками. Вы увидите, что у вихря стрелочка поворачивается в ту же сторону, против часовой стрелки, а у антивихря — в противоположную, по часовой стрелке. Проделайте теперь тоже в основном состоянии системы (стрелочка вообще неподвижна) и в состоянии со спиновой волной (там стрелочка слегка колышется около среднего значения). Вы можете также представить себе и деформированные варианты этих картинок, скажем спиновая волна в нагрузку к вихрю: там стрелочка тоже будет делать полный оборот, слегка вихляя.

Рис. 3. Два топологически нетривиальных возбуждения спиновой решетки: вихрь (слева) и антивихрь (справа).

Изображение с сайта ribbonfarm.com

После этих упражнений становится ясно, что все возможные возбуждения разбиваются на принципиально различающиеся классы: делает ли стрелочка полный оборот при обходе вокруг центра или нет, и если делает, то в какую сторону. Эти ситуации имеют разную топологию. Никакие плавные изменения не могут превратить вихрь в обычную волну: если уж поворачивать стрелочки, то скачком, сразу на всей решетке и сразу на большой угол. Вихрь, равно как и антивихрь, топологически защищены: они, в отличие от звуковой волны, не могут просто так рассосаться.

Последний важный момент. Вихрь топологически отличается от простой волны и от антивихря только в том случае, если стрелочки лежат строго в плоскости рисунка. Если же нам разрешается выводить их в третье измерение, то тогда вихрь можно плавно устранить. Топологическая классификация возбуждений кардинально зависит от размерности системы!

Топологические фазовые переходы

Эти чисто геометрические рассуждения имеют вполне осязаемое физическое следствие. Энергия обычного колебания, того же фонона, может быть сколь угодно малой. Поэтому при любой сколь угодно низкой температуре эти колебания спонтанно возникают и влияют на термодинамические свойства среды. Энергия же топологически защищенного возбуждения, вихря, не может быть ниже некоторого предела. Поэтому при низких температурах отдельные вихри не возникают, а значит, не влияют на термодинамические свойства системы — по крайней мере, так считалось до начала 1970-х годов.

Между тем, в 1960-е годы усилиями многих теоретиков вскрылась проблема с пониманием того, что происходит в XY-модели с физической точки зрения. В обычном трехмерном случае всё просто и интуитивно понятно. При низких температурах система выглядит упорядоченно, как на рис. 2. Если взять два произвольных узла решетки, пусть даже и очень далеких, то спины в них будут слегка колебаться около одинакового направления. Это, условно говоря, спиновый кристалл. При высоких температурах происходит «плавление» спинов: два далеких узла решетки уже никак друг с другом не скоррелированы. Есть четкая температура фазового перехода между двумя состояниями. Если установить температуру ровно на это значение, то система будет находиться в особом критическом состоянии, когда корреляции еще есть, но плавно, степенным образом уменьшаются с расстоянием.

В двумерной решетке при высоких температурах тоже есть неупорядоченное состояние. А вот при низких температурах всё выглядело очень и очень странно. Была доказана строгая теорема (см. Теорема Мермина — Вагнера) о том, что в двухмерном варианте кристаллической упорядоченности нет. Аккуратные расчеты показали, что ее не то чтобы совсем нет, она просто уменьшается с расстоянием по степенному закону — ровно как в критическом состоянии. Но если в трехмерном случае критическое состояние было только при одной температуре, то тут критическое состояние занимает всю низкотемпературную область. Получается, в двумерном случае в игру вступают какие-то другие возбуждения, которых не существует в трехмерном варианте (рис. 4)!

Рис. 4. Условное изображение фаз в спиновой модели в трехмерном и двумерном случае.

Знаки вопроса означают, что по состоянию на конец 1960-х годов не было толком понятно,

что из себя представляет модель при таких температурах.

В 1971 году советский физик Вадим Березинский догадался, что это за возбуждения. Это связанные пары вихрь-антивихрь (эти работы, кстати, легли в основу его кандидатской диссертации). Энергия, которую надо затратить для создание одиночного вихря или антивихря, — очень большая, но энергия связанной пары — намного меньше. Именно этот момент люди упускали из виду раньше. При конечной температуре такие пары могут рождаться плавным локальным изменением; этот процесс показан на рис. 5. Именно они разрушают в двумерном случае кристаллическую фазу при низких температурах.

Рис. 5. Анимация рождения и исчезновения пары вихрь-антивихрь.

Изображение с сайта ribbonfarm.com

Костерлиц и Таулесс пришли к тому же выводу на год позже, но они заглянули дальше. Они поняли, что при повышении температуры накапливается столько пар вихрь-антивихрь, что отдельные пары расплетаются. Если взглянуть на систему издалека, не замечая отдельных стрелочек и обращая внимание только на вихри, то вместо газа почти не взаимодействующих пар система превращается в газ независимых и вполне хорошо взаимодействующих вихрей и антивихрей. Это очень похоже на превращение газа нейтральных атомов в плазму; даже закон взаимодействия между вихрями получается чисто кулоновским. В общем, происходит фазовый переход: физическая картина кардинально меняется, термодинамические характеристики тоже. Этот фазовый переход, вызванный распутыванием топологических возбуждений, и называется с тех пор переходом Костерлица —Таулесса, часто с добавлением фамилии Березинского.

Как только было понято топологическое происхождение этого фазового перехода в XY-модели, как только физики осознали важную роль топологических возбуждений, начали всплывать другие физические системы, которые тоже оказалось удобно переложить на этот язык. Многие из них сугубо квантовые: сверхтекучесть гелия в тонких пленках, плоские слои сверхпроводников, магнетизм в слоистых материалах, целочисленный квантовый эффект Холла и даже искусственные конструкции типа решетки из сверхпроводящих устройств. Все они были реализованы экспериментально, причем некоторые — буквально в последние годы. Мы не будем углубляться в эти эффекты, а вместо этого упомянем другой, более наглядный пример двумерной системы, в которой тоже есть топологический фазовый переход — и даже не один.

Этот пример — это просто плотно упакованные частицы с простым попарным взаимодействием: частицы расталкиваются, когда они вдавлены друг в друга, и притягиваются, когда они слегка разошлись. Этакая упрощенная модель обычного вещества, без излишних сложностей межатомного взаимодействия. В трехмерном случае при повышении температуры возникают обычные кристаллы, потом жидкость, потом газ. В двумерном случае между кристаллической и жидкой фазами существует особая прослойка, называемая гексатической фазой (hexatic phase). Система в такой фазе лишена кристаллической жесткости; в ней решетка словно ходит ходуном, «дышит». Локально решетка выглядит как кристалл с дефектами, но если взять и отследить расстояние между двумя далекими участками этого «недокристалла», то оно не фиксировано, а может сильно изменяться. Однако гексатическая фаза держит общую ориентированность решетки: два далеких друг от друга участка решетки ориентированы в одну сторону.

В конце 1970-х годов Нельсон, Халперин (Theory of Two-Dimensional Melting) и Янг (Melting and the vector Coulomb gas in two dimensions) разобрались, что фазовые переходы в этой систем — тоже топологического происхождения. При повышении температуры в стройной кристаллической решетке возникают сдвиговые нарушения, дислокации(рис. 6). Это тоже топологические дефекты, аналоги вихрей в плотной кристаллической решетке. Они возникают не поодиночке — это потребовало бы слишком много энергии, — а в виде связанных пар. Когда их становится слишком много, пары «диссоциируют» — и кристалл оказывается заполненным плотной сетью свободно перемещающихся дислокаций. Именно в этот момент система переходит из кристаллической в гексатическую фазу.

Рис. 6. Процесс плавления в двумерной системе жестких дисков происходит в два этапа, через промежуточную гексатическую фазу.

Изображение из статьи A. Pal et al., 2016. Observation of the Chiral and Achiral Hexatic Phases of Self-assembled Micellar polymers

Но каждая дислокация — это, по сути, тесно связанная пара других, более суровых дефектов, дисклинаций. Дисклинация — это клинообразное искажение решетки, но если две противоположные дисклинации расположены близко, то общую ориентированность решетки они не разрушают. При дальнейшем повышении температуры в какой-то момент расплетаются и пары дисклинаций — и вот тогда система теряет и пространственную, и ориентационную упорядоченность и превращается в жидкость.

Надо добавить, что совсем недавно выяснилось, что для случая «мягких дисков» второй фазовый переход протекает не совсем так, как предсказывает классический механизм Костерлица — Таулесса — Халперина — Нельсона — Янга (KTHNY-сценарий), а напоминает скорее обычный фазовый переход первого рода. В работе 2011 года в ходе моделирования миллиона частиц обнаружилось, что в системе может возникать разделение фаз (рис. 7). Это характерная черта фазового перехода первого рода; отдаленная аналогия — кубик льда, плавающий в стакане с водой. Где пролегает граница между этими возможностями — вопрос, который изучается до сих пор.

Рис. 7. Результат моделирования системы с миллионом частиц. При некоторых значениях параметров в системе возникает пространственное разделение гексатической (слева) и жидкой (справа) фаз — свидетельство в пользу фазового перехода первого рода. Изображение с сайта lps.ens.fr/~krauth

Сопроводительные материалы Нобелевского комитета рассказывают о нескольких примерах топологических явлений в различных квантовых системах, а также о недавних экспериментальных работах по их реализации и о перспективах на будущее. Заканчивается этот рассказ цитатой из статьи Холдейна 1988 года. В ней он, словно оправдываясь, говорит: «Хотя представленная здесь конкретная модель вряд ли физически реализуема, тем не менее ...». 25 лет спустя журнал Nature публикует статью, в которой сообщается об экспериментальной реализации модели Холдейна. Пожалуй, топологически нетривиальные явления в конденсированных средах — это одно из самых ярких подтверждений негласного девиза физики конденсированных сред: в подходящей системе мы воплотим любую самосогласованную теоретическую идею, какой бы экзотической она ни казалась.

Источник: The Nobel Prize in Physics 2016 — материалы Нобелевского комитета, посвященные лауреатам 2016 года и их нобелевским результатам.